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Good

發表者 ti*******, 2017/09/07 18:33:50

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高中數學四題----20點

發問:

1.設a,b∈N且a
最佳解答:

Q1: 設d=(a, b), a=dh, b=dk, (h,k)=1, 0d+dhk=15=> d(1+hk)=15 =>d為15之因數, 又 1+hk>=3 => (d, 1+hk)可能為 (5, 3),(3, 5),(1, 15) (1) d= 5, 1+hk=3 => a=5*1, b=5*2 (2) d= 3, 1+hk=5=> a=3*1, b=3*4 (3) d=1, 1+hk=15 => a=1*1, b=1*14 或 a=1*2, b=2*7 Ans: 共4組 Q2: 5a-9b+4c=0, 10a+3b-6c=0 => a:b:c= 6:10:15 =>(a,b,c)=(6k, 10k, 15k) (a,b,c)+[a,b,c]=k+30k= 620 => k=20 =>(a, b, c)=(120, 200, 300) Q3: (13x+a)^2=(12x+b)^2+(5x+c)^2任意x均成立=>係數完全相同 (1) 26a=24b+10c => 13a=12b+5c (2) a^2=b^2+c^2 由(1) a=(12b+5c)/13代入(2)=> 25b^2-120bc+144c^2=0=>5b-12c=0 =>b:c=12: 5 , 又最大公因數2=> b=24, c=10, a=26 Q4: (1) 609= 3*7*29=> 1,2,3,..., 86與 609互質之質數個數=20個註: 1~100有25個質數, 扣掉3, 7, 29, 89, 97 (2) 6^b | 100!, 6=2*3,而1,2,~100中2之倍數很多=>只要3^b|100!即可 => b= [100/3]+[100/9]+[100/27]+[100/81] (高斯值) b=48 (3) [a, b]=[20, 48]=240 am+bn= 20m+48n= 240 => 5m+12n= 60 m,n 為非負整數 =>(m,n)=(0, 5)或(12, 0) => m+n=5 或 12 註:題目條件m,n為整數=>m=12k, n=5-5k => m+n=5-7k (k為任意整數) 或者版大的題目a可能不是質數 !

其他解答:

慢了留個意見吧 1. 令 a = md, b = nd, d = (a, b)，則 [a, b] = mnd (a,b)+[a,b]=15 ==> d + mnd = 15 ==> (1 + mn) d = 15 (1 + mn, d) = (1,15), (3,5), (5,3), (15,1) (mn, d) = (0, 15)不合, (2,5), (4,3), (14,1) (m, n, d) = (1,2,5), (1,4,3), (1,14,1),(2,7,1) 因此 (a,b) = (5,10), (3,12), (1,14), (2,7) 共四組 2009-02-22 00:36:15 補充： 2. 先由 5a-9b+4c=0,10a+3b-6c=0 可得 a : b : c = 6 : 10 : 15 設 (a, b, c) = d, 則 [a, b, c] = [6, 10, 15]*d = 30 d (a,b,c) + [a,b,c] = 620 ==> d + 30d = 620 ==> d = 20 因此 a = 120, b = 200, c= 300 2009-02-22 00:36:26 補充： 3. (13x+a)^2=(12x+b)^2+(5x+c)^2 對任意實數x恒成立當 x= 0 時代入得到 a^2 = b^2 + c^2 ......(a) 所以將原式展開與 (a) 式整理後得 26ax = 24bx + 10cx ==> 13a = 12b + 5c .......(b) 由 (a),(b) 可知 (13a)^2 = (12b + 5c)^2 = 169a^2 = 169b^2 + 169c^2 整理過後因式分解可得 (5b - 12c)^2=0 ==> 5b=12c 因為 b,c最大公因數為 2，所以 b = 24, c = 10 ==> a = 26 2009-02-22 00:36:30 補充： 4. 609 = 3 * 7 * 29 比87小的質數有 23 個，因此 a = 20 想看 100! 有多少個 6 相乘，因為 2 的倍數比 3 多，所以看 100! 有多少個 3 相乘即可 100 / 3 = 33 ... 1 33 / 3 = 11 ... 2 11 / 3 = 3 ... 2 3 / 3 = 1 33 + 11 + 3 + 1 = 48 ==> b = 48 [a, b] = [20, 48] = 240 但是你最後問的問題很奇怪，您確定沒有錯嗎?

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